Biografia più recente di Sergio
Vessella Pubblicazioni
qui riportate
studiati da
del Prof. Michele
Giugliano
già Docente Ordinario
di Matematica e Fisica nei Licei
Piedimonte Matese, anno 2001.
§ Indice.
§
Cap. I. – Sergio
Vessella.
§
Cap. III. – Problemi non ben posti.
Cap. I. - Sergio Vessella.
N. 1. – Biografia.
Gli
studi che ho eseguito sulla biografia e l’opera scientifica di alcuni uomini
illustri del Medio Volturno hanno riguardato,
finora, personaggi del passato, non più viventi. Ora ho deciso di occuparmi
anche dei viventi, per dimostrare che anche oggi, come nel passato, esistono
studiosi che onorano la nostra terra.
Il
personaggio che voglio presentare alla storia del Medio Volturno è il Prof.
Sergio Vessella, nato a Napoli ma vissuto fino all’età di 18 anni ad Alife, Docente nell’Università di Firenze.
|
Il compito che mi accingo a
svolgere non è per nulla facile. Vessella
è un matematico impegnato ed esperto, uno studioso senza tregua, che non concede
molto del suo tempo ai comuni avvenimenti. Per
quanto riguarda la biografia, mi limiterò, almeno in questa
circostanza, a riportare solo gli avvenimenti fondamentali della sua carriera,
senza indagare troppo sulla sua vita privata. Esporre
i suoi studi, invece, richiederà molto più impegno, perché riguardano ricerche di matematica superiore, difficili da
trattare in termini facilmente comprensibili. |
Tuttavia, io ho due vantaggi, che mi
consentiranno di dare, ancora una volta, il mio contributo alla Storia delle
Scienze del Medio Volturno:
·
ho
conosciuto personalmente Sergio Vessella, fin dai tempi del Liceo, perché sono
stato un suo docente;
·
ho
anche io, come lui, dedicato gran parte della vita allo studio della matematica
e al suo insegnamento e, quindi, credo che potrò interpretare adeguatamente i
suoi studi.
Sergio
Vessella è nato a Napoli il 20-08-1955.
Ha
incominciato ad amare la matematica fin dalla scuola media, dopo qualche
delusione iniziale.
È
poi passato al Liceo Scientifico di Piedimonte Matese, continuando a
distinguersi per il suo forte interessamento per la matematica e per una
preparazione, in questa disciplina, notevolmente superiore a quella di tutti i
suoi compagni di scuola.
In
quel Liceo, Sergio è stato mio allievo, nelle classi del triennio.
Egli
era uno studente serio e diligente, talmente bravo in matematica che io non ho mai avuto, durante i 28 anni d’insegnamento in quella
scuola, né prima né dopo, nessun altro allievo del suo livello di preparazione.
Con
questo ho detto tutto, perché io ho avuto ottimi allievi, che oggi sono
professionisti di notevole
valore.
Sergio
si è diplomato nel 1973.
Erano suoi compagni di classe,
come risulta dall’Annuario 1973 del Liceo, i seguenti
giovani, oggi tutti bravi professionisti:
1)
Antonucci
Maria Antonietta 2)
Balducci
Marcella 3)
D’Acunzo Fausto 4)
Di
Marco Laura 5)
Di
Nardo Franca 6)
Fappiano Maria 7)
Federico
Filomena 8)
Federico
Guglielmina 9)
Franco
Augusto 10) Gaetani Raimondo 11) Izzo Rosa |
12) Marzano Saul 13) Mastracchio Anna 14) Melenchi Fernando 15) Perrotti Enrica 16) Picariello Giuseppe 17) Pitò Elena 18) Sarro Antonio 19) Scorciarini Coppola Alessandro 20) Tedesco Mariarosario 21) [Vessella Sergio] |
Dopo
aver conseguito il diploma di maturità scientifica, Sergio si recò presso
l’Università di Pisa, per continuarvi i suoi studi di matematica.
Dopo
la laurea, conseguita con la lode, iniziò subito la sua carriera presso le
Università.
Ora
egli vive a Firenze, con la sua famiglia, costituita dalla moglie, anch’essa
Docente universitaria, e dal figlio Luigi, ove insegna presso l’Università
degli Studi della stessa città, alla Facoltà di Economia.
Prima
di partire per Pisa, Sergio venne da me, per un breve periodo, per avere uno
scambio culturale e dei consigli per gli studi che avrebbe intrapreso
all’Università.
Nel
salutarmi, il giorno precedente a quello della partenza per Pisa, Sergio mi
consegnò in dono un libro sul Calcolo delle probabilità (di Guido Castelnuovo,
Volume I; Zanichelli, Bologna), con la seguente dedica: “Al professore Giugliano con i miei ringraziamenti – Sergio
Vessella - Alife 18-9-‘73”.
Dopo
ci siamo visti raramente.
Un’altra
volta, nel 1979, venne a farmi visita, a casa, e mi consegnò, in dono, una
copia di un suo studio, dal titolo “Considerazioni sulla stabilità delle
soluzioni di un problema inverso per l’equazione delle corde vibranti”.
Ricordo
che mi congratulai molto con lui, perché aveva affrontato un argomento di
Fisica Matematica di notevole difficoltà, come è
quello sulle corde vibranti.
Sul dattiloscritto donatomi da Sergio, dall’alto, c’è
la scritta: “Per il Prof. Giugliano – Sergio Vessella; poi l’intestazione ISTITUTO MATEMATICO
“Ulisse Dini”; in basso, dopo il titolo: Università
degli Studi di Firenze.
N. 2. - Curriculum vitae.
2. 1. – Studi e carriera.
Vessella
ha frequentato, come ho già detto, il Liceo Scientifico di Piedimonte Matese e
l’Università di Pisa, conseguendo la laurea in Matematica, il
14-12-1978, con 110/110 e la lode; relatore il Prof. S. Spagnolo.
Dal
15-6-1979 al 15-6-1982 è stato borsista del C.N.R,
avendo come Direttore di ricerca il Prof. G. Talenti.
Dal
16-12-1982 al 7-3-1988 è stato Ricercatore C.N.R. presso lo I.A.G.A.
Ora
è Professore associato, fin dal 7-3-1988.
2. 2. – Attività didattiche.
Nella sua attività di ricerca Vessella
ha studiato vari aspetti e problematiche relative ai problemi
inversi e non ben posti per equazioni differenziali alle derivate
parziali e per equazioni integrali, occupandosi specialmente dei problemi
di stabilità delle soluzioni, come sarà illustrato più diffusamente nel
seguito.
Ricordiamo
inoltre che:
a)
Vessella ha seguito e tenuto seminari
in Italia e all'estero;
b)
ha
partecipato attivamente a convegni di carattere generale, a convegni sulle equazioni differenziali alle derivate parziali e a
convegni sui problemi inversi per equazioni differenziali alle derivate
parziali e integrali;
c) ha trattato problemi specifici che
hanno condotto alla stesura di alcuni lavori (vedi elenco delle pubblicazioni)
che qui saranno brevemente descritti.
2. 4. – Elenco delle pubblicazioni.
L’attività
scientifica del Vessella è dimostrata dalle pubblicazioni, in ogni campo delle
sue ricerche, delle quali qui riporto l’elenco completo.
1)
"Some inverse problems for the vibrating string
equation". Le
Matematiche, vol. XXXIV, fasc.1-2 (1979).
2)
"A note on an ill-posed problem for the heat
equation". (con G. Talenti ) , J. Austr. Mat. Soc. ( Series A ) 32,
358-368, 1982.
3)
"An ill-posed problem for the Laplace
equation". Boll. Un. Mat. Ital. Analisi Funzionale e
applicazioni. Serie IV, vol. 1-2, C, n.1, 61-80, 1982.
4)
"Problemi
non ben posti in fisica matematica e analisi". ( traduzione
di: Nekorretnye zadachi matematicheskoi fisiki i analisa, autori: M. M. Lavrent`ev,
V. G. Romanov, S. P. Sisatskij . A cura di G.
Alessandrini, O. Arena, S. Campi, G. Chiti, M. Longinetti, G. Papi, A. Venturi, S. Vessella. Quaderno I.
A. G. A. n.12. 1983.
5)
"Estimates and regularization for solutions of
some ill-posed problems of elliptic and parabolic type". ( con H. A. Levine ). Rend.
Circ. Mat. Palermo.
Serie II, tomo XXXIV, 141-160, 1985.
6)
"Stabilization and regularization for solutions
of an ill-posed problem for the wave equation". ( con H. A. Levine ). Math.
Meth. in Appl. Sciences, 7, 202-209, 1985.
7)
"Stability results for Abel equations". J. Integr. Equations 9, 125-135, 1985.
8)
"Error estimates in an identification problem for
a parabolic equation". ( con
G. Alessandrini ). Boll. Un.
Mat. Ital. Analisi
Funzionale e Applicazioni. Serie IV, C-1, 183-203, 1985.
9)
"Stabilization of ill-posed Cauchy problem for a parabolic
equation". ( con P. Knabner
). Ann. Mat.
Pura e Appl. ( IV ), vol. CIL, 393-409, 1987.
10) " Stability estimates
for ill-posed Cauchy problems". ( con P.
Knabner ). Inverse and ill-posed problems,
Academic Press. Inc. 1987.
11) " The optimal
stability estimates for some ill-posed Cauchy problems for a parabolic equation".
( con P. Knabner ). Math.
Meth. in Appl. Sciences, vol. 10, 575-583, 1988.
12) "Local
behaviour of solutions to parabolic equations". ( con G. Alessandrini ). Comm. Part. Diff.
Eq. 13, ( 9 ), 1041-1058. ( 1988
).
13)
"Stability results for an inverse problem in potential
theory". (
con E. Beretta
). Ann. Mat. Pura e Appl. (
IV ), vol. CLVI, 381-404, 1990.
14)
"A remark on an inverse problem in electrocardiology". ( con E. Beretta ). Appl. Anal. , vol. 39, 243-248, 1990.
15) " On continuous
dependence on non-characteristic Cauchy data for level lines of solutions of
the heat equation". ( con
P. Manselli ). Forum Math.
, 513-521, 1991.
16) "Some
problem for a non linear parabolic equation connected
with continuous casting of steel: stability estimates and regularization".
( con A. Binder e H. Engl ).
Numer. Funct. Anal. and Optimiz. 643-671, 1990.
17) "Abel
integral equations: analysis and applications. ( con R. Gorenflo
). Monografia, Springer- Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1461, 1991.
18) "Locations
and strengths of point sources: stability estimates". Inv. Problems 8,
911-917, 1992.
19) "A
stability result for a magnetostatic inverse
problem". ( con
H. W. Engl ). Results in
Mathematics vol. 26, 1994.
20)
"Un
paradosso di Eulero". Archimede fasc. 1-2, 1992.
21)
"Two
dimensional inverse problem in electrocardiology".( con V. G. Cherednichenko). J.
Inv. Ill-Posed Problems, vol. 1, n. 3, pp. 207-215, 1993.
22)
"Stability estimates in time-backwards problem for
the rod equation". (
con A. Vitolo ).
Rend. Circ. Mat. Palermo.
Serie II, XLIII, 39-50, 1994.
23) "A
domain identification problem for the heat equation- Holder stability
estimate" J. Inv. Ill-Posed Problems, vol. 3, n.6, 495-503, 1995.
24)
"
Determining linear cracks by boundary measurement: Lipschitz
stability". (
con G. Alessandrini
e E. Beretta). SIAM J. Math.
Anal., vol. 27 n. 2, 361-375, 1996.
25)
"Stability in crack determination for
electrostatic measurements at the boundary- a numerical investigation. ( con G. Alessandrini, E. Beretta, F. Santosa ). Inv. Problems 11 L17-L24, 1995.
26) "Stability
estimates in an inverse problem for 3D heat equation". SIAM J. Math. Anal.
vol. 28, n. 6, 1354-1370, 1997.
27) "Stable
determination of boundaries from Cauchy data". ( con E. Beretta ). SIAM J. Math. Anal. , vol. 30, n. 1, 220-232, 1998.
28)
"A continuous dependence result in the analytic
continuation problem". Pubblicato
su Forum Math. 11 ( 1999 ), 695-703.
29) "Quantitative
continuation of solution of elliptic equations from a measurable set".
Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 130A, 909-923,2000
.
30)
"Optimal stability for inverse elliptic boundary
value problem with unknown boundaries". ( con G. Alessandrini, E. Beretta, E. Rosset ). Preprint Dip. Sc. Mat. Univ. Trieste, Quaderno n. 457, 1999. Accettato per la pubblicazione dagli Annali della Scuola Normale
Superiore di Pisa.
31) "Inverse
boundary value problems with unknown boundaries: Optimal stability" ( con
G. Alessandrini, E. Beretta, E. Rosset ) C. R. Acad.
Sci. Paris, t. 328, Serie II b, p. 607-611, 2000.
32)
"Quantitative estimates of unique continuation
for parabolic equations and inverse initial-boundary value problem with unknown
boundaries" ( con B. Canuto,
E. Rosset ) Preprint Dip. Sc. Mat. Univ. Trieste, Quaderno n. 472, 2000.
N.
3. – Breve riassunto delle pubblicazioni.
·
Lavori 1), 2), 3).
La parte iniziale
del periodo 1979-82 è stata caratterizzata da un'attività di orientamento
generale sui problemi inversi non ben posti, sotto la guida del
Prof. G. Talenti.
Ciò ha condotto
alla stesura dei lavori 1), 2), 3) (il lavoro 2 è in
collaborazione con G. Talenti) dell'elenco delle pubblicazioni, sopra
riportato, nei quali ha studiato la stabilità per problemi
lineari non ben posti relativi alle equazioni delle corde
vibranti, del calore e di Laplace.
Successivamente
ha iniziato ad interessarsi alle equazioni integrali di Abel con la
collaborazione del Prof. R. Gorenflo (FU Berlin).
·
Lavoro 4).
Ha partecipato ad un convegno internazionale sui problemi inversi (Montepellier 1982), ha tenuto dei seminari nell'istituto U.
Dini di Firenze, ha preso parte al lavoro di traduzione e revisione del libro
di Lavrentiev, Romanov, Sisatskij
(punto 4 dell'elenco delle pubblicazioni).
·
Lavori 5), 6).
Continuando a lavorare sui problemi
lineari non ben posti ha studiato in un contesto
astratto, con H. A. Levine, (lavori n.5 e n.6 dell'elenco) questioni di
stabilità in problemi ellittici, parabolici e iperbolici
generalizzando, nel lavoro 5 dell'elenco delle pubblicazioni, i risultati
ottenuti, con G. Talenti, nel lavoro di cui al punto 2 dell'elenco delle pubblicazioni.
·
Lavoro
7).
Nel 1983 ha portato a termine una
prima fase dello studio delle equazioni di Abel trovando, per le sue
soluzioni, stime di stabilità ottimali (punto 7
dell'elenco delle pubblicazioni) e ponendo le basi per la stesura della monografia
sulle equazioni di Abel (punto 17 dell'elenco delle pubblicazioni) condotta con
Gorenflo.
Nell'ambito della cooperazione con
quest'ultimo è stato varie volte all'Università di
Berlino, dove ha tenuto dei seminari sulle equazioni di Abel e sulle
ricerche che, nel frattempo, conduceva.
Nel giugno del 1983 ha tenuto una
conferenza ad Oberwolfach
sui risultati di stabilità che aveva dimostrato per le equazioni di
Abel; tali risultati sono stati anche presentati al congresso U. M. I. del
1983 ( Perugia ).
Il piano della monografia prevedeva
un'attenzione particolare agli aspetti applicativi delle equazioni di Abel
e alle relazioni degli operatori di Abel con altre trasformate integrali.
·
Lavori
8), 12).
Nel 1984 ha iniziato a lavorare con
G. Alessandrini su un problema di identificazione di
un coefficiente di un'equazione uniformemente parabolica del secondo ordine
giungendo, così, alla stesura del lavoro 8 dell'elenco delle pubblicazioni e,
successivamente, al lavoro di cui al punto 12 dello stesso elenco.
In quest'ultimo lavoro i due
studiosi dimostrano una generalizzazione, al caso di equazioni
uniformemente paraboliche del secondo ordine con coefficienti della
parte principale di tipo halderiano, di un
teorema riguardante il comportamento locale di soluzioni di equazioni
ellittiche lineari provato da Bers.
Nel 1985 ha iniziato una ricerca sul
problema di Cauchy non-caratteristico per
equazioni uniformemente paraboliche del secondo ordine in dimensione spaziale
uno.
L'interesse principale di questa
ricerca consisteva nello studio dell'unicità e della stabilità per soluzioni
del suddetto problema di Cauchy,
nelle ipotesi in cui il coefficiente del termine di ordine principale non è
differenziabile con continuità.
Se, al contrario, tale coefficiente
è differenziabile con continuità, Payne aveva
provato, in un articolo del 1985, l'unicità delle soluzioni e la stabilità
halderiana delle stesse.
·
Lavori
9),10), 11).
La ricerca sul problema di Cauchy è stata successivamente
portata avanti con P. Knabner ( Università di Augsburg
) e si è articolata in tre distinti lavori (punti 9, 10, 11, dell'elenco delle
pubblicazioni).
In
tutti e tre i lavori i coefficienti delle
equazioni non dipendono dal tempo.
Nel lavoro 9
si prova che, se i coefficienti sono misurabili e limitati allora la
soluzione del problema di Cauchy non-caratteristico è
unica e, per questa soluzione, vale una dipendenza continua di tipo halderiano dai dati qualora la soluzione soddisfi ad una
limitazione a priori in L2.
Nel lavoro 11
si considera il caso in cui il coefficiente del termine del secondo ordine è
differenziabile due volte con continuità e si dimostra una stima di stabilità
ottimale.
Nel lavoro 10
si considera il caso in cui il coefficiente della parte principale è una
funzione costante a tratti e, nel determinare le stime di stabilità, si trova
una formula risolutiva con un argomento ricorsivo.
Nell'ambito della cooperazione con
P. Knabner, Vessella ha tenuto delle conferenze
all'Università di Augsburg sui risultati della loro
ricerca comune e su altri suoi risultati.
I risultati della loro ricerca sono
stati presentati ad un congresso sui problemi inversi,
organizzato dall'Università di Linz (Austria) e al congresso U. M. I. del 1987
( Torino ).
I suddetti lavori sul problema di
Cauchy hanno concluso
una prima fase della sua attività di ricerca.
Questa si è successivamente
orientata verso lo studio di problemi che consistono nella determinazione di
porzioni di bordo di domini potendo disporre di dati al bordo di soluzioni di
equazioni di tipo ellittico o parabolico.
Tali problemi sono non-lineari
indipendentemente dalla linearità delle equazioni e degli operatori di bordo.
·
Lavori
13),14).
Vessella
ha iniziato questa seconda fase della sua attività di ricerca con i lavori 13 e 14 dell'elenco delle pubblicazioni, in cooperazione con
E. Beretta.
Nei lavori 13
e 14 considerano un modello matematico in elettrocardiologia introdotto e
studiato da E. Magenes e P. Colli-Franzone
( 1982-'85 ).
I problemi inversi che hanno
studiato sono formulabili come problemi inversi in teoria del potenziale.
Nel lavoro 13
si studiano la stabilità per una formulazione bidimensionale del problema,
in esso l'incognita è una curva semplice, aperta.
Nel lavoro 13 i due studiosi
provano risultati di stabilità logaritmica, essenzialmente nelle stesse
ipotesi in cui Magenes, nel 1985, ha provato
l'unicità.
Per provare questi risultati adoperano tecniche di
teoria classica del potenziale e di prolungamento analitico.
Nel lavoro 14
provano, invece, un risultato di unicità valido anche in tre dimensioni nel
caso in cui l'incognita del problema è una superficie chiusa e stellata.
Questi risultati sono stati esposti in diverse conferenze
tenute da Vessella alla FU-Berlino e al Centro di Ricerche di Novosibirsk, in
cui è stato invitato dal Prof. Lavrentiev
nell'autunno del 1988.
Durante questa visita ha avuto
numerosi incontri e colloqui, tra gli altri, con il Prof. Bugheim,
con il Prof. Kabanikin e con il Prof. Cherednichenko.
Con quest'ultimo ha iniziato una
collaborazione per approfondire la questione dell'unicità del problema
inverso in elettrocardiologia nel caso piano.
Questa collaborazione ha condotto a
risultati di unicità ed esistenza per una diversa formulazione del problema di
cui al punto 13, pubblicato nel 1993 (lavoro n. 21
dell'elenco).
·
Lavori
15),16).
I lavori successivi (n. 15, 16 dell'elenco) riguardano un problema di identificazione
della frontiera, variabile nel tempo, per equazioni paraboliche lineari e
non-lineari in una dimensione spaziale.
Il caso lineare è stato studiato con
P. Manselli, mentre il caso non-lineare è stato
studiato con H. Engl e A.
Binder (entrambi dell'Università di Linz).
Questi problemi (in particolare nel
caso non-lineare) sorgono nello studio della solidificazione
dell'acciaio.
Nell'ambito della cooperazione con H. Engl e A. Binder, Vessella è
stato invitato a tenere una conferenza all'Università di Linz.
Nel periodo 1989-90 si è conclusa anche la stesura della monografia sulle equazioni
di Abel.
Questa monografia è stata pubblicata
nel 1991 nelle Lecture-Notes in Mathematics
della Springer-Verlag.
Malgrado la forma rudimentale
dell'esposizione e della veste tipografica, la monografia ha ricevuto numerosi
e positivi apprezzamenti da parte di coloro i quali erano interessati alle
applicazioni o agli aspetti matematici di esse, come è, altresì, testimoniato
dalle numerose citazioni in altri libri e lavori sui problemi inversi.
·
Lavoro
18).
Nel lavoro n.18 ha esteso al caso
tridimensionale alcuni risultati di stabilità trovati da K.
Miller nel problema della determinazione di poli semplici di una funzione meromorfa nota su una curva.
La stabilità nel caso
tridimensionale era stata studiata da J. R. Cannon e E. R. Ewing nel 1975, ma a differenza di questi che avevano
provato una dipendenza continua dai dati di tipo logaritmico, nel lavoro
n.18 Vessella ha approfondito ulteriormente l'indagine giungendo a dimostrare
una dipendenza di tipo lipschitziano.
Questo risultato è stato trovato
sfruttando opportunamente il fatto che il problema inverso considerato è di tipo
finito-dimensionale.
Sui risultati di questo lavoro
Vessella ha tenuto una conferenza all'Università di Linz.
·
Lavoro
19).
La tecnica utilizzata nel suddetto
lavoro n. 18 è stata utilmente sfruttata anche nel lavoro n. 19 in cooperazione
con H. Engl.
In questo lavoro viene
studiato un problema di identificazione per equazioni ellittiche.
I risultati dei due lavori
precedenti sono stati presentati in una sua conferenza tenuta a Postdam nel
1993, in occasione di un convegno sui problemi inversi.
·
Lavori 24), 25).
Nel periodo di permanenza
all'Università di Salerno, oltre a portare avanti i lavori di cui al punto 14, 15, 16, 17, 21 dell'elenco delle pubblicazioni, Vessella
ha collaborato con A. Vitolo e, riprendendo in parte i risultati di teoria
dei numeri, utilizzati nei lavoro n. 1 dell'elenco, i due hanno trovato dei
risultati di stabilità per l'equazione delle sbarre.
La ricerca sui problemi di identificazione di domini è continuata con il
lavoro n. 24 (con G. Alessandrini e E. Beretta) e n.
25 (con G. Alessandrini, E. Beretta e F. Santosa).
Nel lavoro n. 24
questi studiosi
hanno provato una stabilità di tipo lipschitziano
nel problema inverso bidimensionale relativo a crack isolanti nell'ipotesi in
cui tali crack siano dei segmenti.
Sono giunti a questo risultato utilizzando
teoremi di regolarità per equazioni ellittiche e sfruttando
efficacemente il carattere finito-dimensionale del problema.
Nel
lavoro n. 25 hanno studiato degli aspetti numerici del lavoro precedente.
·
Lavoro
23).
Nel lavoro n. 23 Vessella determina
una stabilità di tipo halderiano per il
problema trattato nel lavoro n. 15 assumendo, però, forti limitazioni a priori
sulla frontiera incognita (appartenenza a classi di Gevrey di ordine 2); tali ipotesi sono necessarie per
l'estensione della soluzione del problema diretto e, a tale
estensione, è dovuto il carattere halderiano
della stima di stabilità.
Sui risultati di questo lavoro
Vessella ha tenuto una conferenza nell'ambito di un convegno sui problemi
inversi organizzato dall'Universtà di Linz nel
1994 e in un convegno tenuto a Osaka dello stesso anno (anch'esso sui problemi
inversi).
·
Lavoro
26).
Nel lavoro n. 26 il punto
tecnicamente rilevante riguarda le stime globali per soluzioni del problema
di Cauchy non caratteristico per l'equazione
tridimensionale del calore.
Infatti, la funzione, U, per la
quale bisogna trovare le suddette stime è differenza di due soluzioni
dell'equazione del calore nei due differenti domini di cui si vuol stimare la
distanza di Hausdorff, quindi la stima globale deve
essere trovata per la funzione U in una componente
connessa dell'intersezione dei due domini.
Quello che è risultato
particolarmente delicato è stata la valutazione di U in vicinanza delle
porzioni di bordo incognite in termini dell'errore sui dati e delle informazioni
a priori sui domini.
Trovata una prima stima su U e
utilizzando proprietà delle soluzioni corrispondenti ai domini di cui si vuol
stimare la distanza di Hausdorff, si giunge ad una prima rozza stima di stabità
per tale distanza.
La conseguenza che più interessa di
questa prima stima è che, se l'errore sui dati è sufficientemente piccolo allora i due domini risultano sufficientemente
vicini e ciò consente un maggior controllo della geometria della
loro intersezione e, quindi, una stima migliore per U e per la distanza di
Hausdorff.
La stima finale è di tipo
logaritmico.
I risultati di questo lavoro sono
stati presentati ad Oberlwolfach
nel gennaio del 1996.
·
Lavori
27), 30).
Nel lavoro n. 27, con E. Beretta, connesso ad un problema di determinazione di superfici
corrose mediante misurazioni elettrostatiche, si avvale in parte delle
tecniche messe a punto nel lavoro n.26.
In questo lavoro il dominio
incognito è un aperto del piano, semplicemente connesso, di cui
solo una porzione della frontiera è nota.
L'equazione che, si suppone, governi
il fenomeno fisico è l'equazione di Laplace.
Il problema inverso si
presenta, pertanto, come problema di identificazione
di un dominio incognito avendo assegnato un opportuno dato di Neumann della soluzione dell'equazione di Laplace nel
dominio e misurato il corrispondente valore della soluzione su una porzione di
bordo.
Oltre
alle difficoltà dovute alla scarsa controllabilità della geometria del problema
(difficoltà, peraltro, simili a quelle incontrate nel lavoro n. 26), i due
studiosi hanno affrontato la questione di una stima dal basso per il gradiente
di una soluzione, u, di un problema di Neumann per
l'equazione di Laplace.
Tale
stima dal basso è stata, infine, ottenuta sfruttando per l'armonica
coniugata di u un risultato di Alessandrini e Magnanini del '94, sui punti
critici delle soluzioni di equazioni ellittiche bidimensionali.
La
stima che hanno ottenuto è ottimale come mostrato da
Alessandrini in un suo precedente articolo del '97.
Sui
risultati inerenti a questo lavoro, Vessella ha tenuto una conferenza al
Convegno sui problemi inversi tenuto a Gargnano nel 1998.
Lo studio della stabilità per
la versione tridimensionale del problema di cui al n. 27 è stata condotta con
l'ausilio di altre tecniche, come ora espongo e ha condotto al lavoro n.30
dell'elenco.
Questo lavoro è stato affrontato da
Vessella con G. Alessandrini, E. Beretta e E. Rosset.
L'equazione che, si suppone, governi
il fenomeno è ellittica (del secondo ordine), con coefficienti
della parte principale di tipo lipschitziano.
Le stime globali per il problema
di Cauchy, che gli studiosi hanno dovuto
ricavare, hanno richiesto una trattazione sostanzialmente diversa di quella del
lavoro n. 27 (tale trattazione era basata essenzialmente su tecniche di prolungamento
analitico).
Infatti, per trovare tali stime in vicinanza della
parte di frontiera nota e sulla quale sono altresì disponibili i dati di Cauchy, si è adoperato un risultato di Trytten,
mentre per trovare tale stima in vicinanza delle porzioni incognite di frontiera si è adoperato, con opportuni accorgimenti, il
teorema delle tre sfere (conseguenza dei risultati di "strong unique continuation" di
Garofalo-Lin (1986) e di Kukavica
(1998)) per soluzioni di equazioni ellittiche con coefficienti lipschitziani nella parte principale.
Le stime di stabilità per la distanza
di Hausdorff fra i domini è
stata resa possibile da una rielaborazione di recenti risultati di "unique continuation at the boundary" dovuti a Adolfsson-Escauriaza (1997).
La
stima di stabilità ottenuta è ottimale.
Nel lavoro n. 28 Vessella ha
studiato gli aspetti quantitativi del prolungamento di funzioni analitiche
reali di n variabili reali da insiemi di misura
positiva ed ha trovato per esse stime di stabilità di tipo halderiano dipendenti solo dal dominio in cui è definita la
funzione, dalla misura dell'insieme in cui è noto l'errore sulla stessa e dalle
limitazioni a priori sulla funzione.
Questo
risultato estende risultati analoghi riportati nella monografia di Lavrentiev-Romanov-Sisatskji fornendo,
nel contempo, una dimostrazione notevolmente semplice.
·
Lavoro
29).
Successivamente, nel lavoro n. 29, Vessella ha
affrontato un problema analogo al precedente, relativo a soluzioni di equazioni
ellittiche con coefficienti nella parte principale di tipo lipschitziano, provando delle stime di stabilità
dipendenti dalla misura dell'insieme sul quale è noto l'errore, dal dominio in
cui è considerata l'equazione e dalle limitazioni a priori sulla soluzione.
Queste stime sono state rese
possibili dall'utilizzazione della connessione, posta in evidenza da
Garofalo-Lin nel 1986, tra "doubling
inequalities" per soluzioni di equazioni
ellittiche e la teoria dei pesi di Muckenhaupt.
I risultati dei due lavori
precedenti sono stati presentati in un convegno sui problemi diretti e inversi
tenuto a Gargnano nel 1999.
Nel febbraio del 1998 Vessella si è
recato a Rutgers, invitato dal Prof. Vogelius .
·
Lavoro
32).
Nel lavoro n.32 (in collaborazione
con B. Canuto e E. Rosset), Vessella ha condotto lo studio della stabilità
per un problema inverso relativo a equazioni paraboliche del secondo ordine con
coefficienti lipschitziani e non dipendenti dal
tempo.
Tale problema sorge in "thermal imaging" e consiste
nel determinare superfici corrose inaccessibili o cavità interne ad un corpo conduttore.
Gli aspetti che sembrano più
interessanti di questo lavoro sono quelli connessi
alle stime di "unique continuation"
per soluzioni di equazioni paraboliche.
Queste riguardano, in particolare, disuguaglianze
tipo tre sfere all'interno e al bordo su iperpiani caratteristici.
N.
4. – Sintesi degli studi di Vessella.
In conclusione, posso affermare che la produzione
scientifica di Vessella è notevole e di gran pregio.
Egli si è
occupato principalmente di problemi inversi e non ben posti.
In
particolare ha studiato:
·
stabilità
per un problema inverso di magnetostatica e dell'equazione del calore,
·
un
problema inverso dell'elettrocardiologia,
·
identificazione
di rotture in conduttori elettrici e di una porzione di frontiera di un dominio
planare usando dati di Cauchy,
·
problemi
di identificazione per l'equazione del calore.
·
È inoltre coautore
di una monografia sull'equazione integrale di Abel.
I
risultati ottenuti sono stati pubblicati, in lingua inglese, su riviste a
diffusione internazionale. [Continua]
Michele Giugliano Collana
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Biografia più
recente di Sergio Vessella
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