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Biografia più recente di Sergio Vessella         Pubblicazioni qui riportate

 

 

Alcuni problemi sulle equazioni differenziali

studiati da

SERGIO VESSELLA

 

 

del Prof. Michele Giugliano

già Docente Ordinario

di Matematica e Fisica nei Licei

 

                                                                                                                                     Piedimonte Matese, anno 2001.

§ Indice.

§  Cap. I. – Sergio Vessella.

§  Cap. II. – Premesse.

§  Cap. III. – Problemi non ben posti.

 

 

Cap. I. - Sergio Vessella.

 

 

 

N. 1. – Biografia.

 

Gli studi che ho eseguito sulla biografia e l’opera scientifica di alcuni uomini illustri del Medio Volturno hanno riguardato, finora, personaggi del passato, non più viventi. Ora ho deciso di occuparmi anche dei viventi, per dimostrare che anche oggi, come nel passato, esistono studiosi che onorano la nostra terra.

Il personaggio che voglio presentare alla storia del Medio Volturno è il Prof. Sergio Vessella, nato a Napoli ma vissuto fino all’età di 18 anni ad Alife, Docente nell’Università di Firenze.

 

Prof. Sergio Vessella

Il compito che mi accingo a svolgere non è per nulla facile.

Vessella è un matematico impegnato ed esperto, uno studioso senza tregua, che non concede molto del suo tempo ai comuni avvenimenti.

Per quanto riguarda la biografia, mi limiterò, almeno in questa circostanza, a riportare solo gli avvenimenti fondamentali della sua carriera, senza indagare troppo sulla sua vita privata.

Esporre i suoi studi, invece, richiederà molto più impegno, perché riguardano ricerche di matematica superiore, difficili da trattare in termini facilmente comprensibili.

 

Tuttavia, io ho due vantaggi, che mi consentiranno di dare, ancora una volta, il mio contributo alla Storia delle Scienze del Medio Volturno:

 

·       ho conosciuto personalmente Sergio Vessella, fin dai tempi del Liceo, perché sono stato un suo docente;

·       ho anche io, come lui, dedicato gran parte della vita allo studio della matematica e al suo insegnamento e, quindi, credo che potrò interpretare adeguatamente i suoi studi.

 

Sergio Vessella è nato a Napoli il 20-08-1955.

Ha incominciato ad amare la matematica fin dalla scuola media, dopo qualche delusione iniziale.

È poi passato al Liceo Scientifico di Piedimonte Matese, continuando a distinguersi per il suo forte interessamento per la matematica e per una preparazione, in questa disciplina, notevolmente superiore a quella di tutti i suoi compagni di scuola.

In quel Liceo, Sergio è stato mio allievo, nelle classi del triennio.

Egli era uno studente serio e diligente, talmente bravo in matematica che io non ho mai avuto, durante i 28 anni d’insegnamento in quella scuola, né prima né dopo, nessun altro allievo del suo livello di preparazione.

Con questo ho detto tutto, perché io ho avuto ottimi allievi, che oggi sono professionisti di  notevole valore.

 

Sergio si è diplomato nel 1973.

 

Erano suoi compagni di classe, come risulta dall’Annuario 1973 del Liceo, i seguenti giovani, oggi tutti bravi professionisti:

 

1)          Antonucci Maria Antonietta

2)          Balducci Marcella

3)          D’Acunzo Fausto

4)          Di Marco Laura

5)          Di Nardo Franca

6)          Fappiano Maria

7)          Federico Filomena

8)          Federico Guglielmina

9)          Franco Augusto

10)       Gaetani Raimondo

11)       Izzo Rosa

12)       Marzano Saul

13)       Mastracchio Anna

14)       Melenchi Fernando

15)       Perrotti Enrica

16)       Picariello Giuseppe

17)       Pitò Elena

18)       Sarro Antonio

19)       Scorciarini Coppola Alessandro

20)       Tedesco Mariarosario

21)       [Vessella Sergio]

 

Dopo aver conseguito il diploma di maturità scientifica, Sergio si recò presso l’Università di Pisa, per continuarvi i suoi studi di matematica.

Dopo la laurea, conseguita con la lode, iniziò subito la sua carriera presso le Università.

 

Ora egli vive a Firenze, con la sua famiglia, costituita dalla moglie, anch’essa Docente universitaria, e dal figlio Luigi, ove insegna presso l’Università degli Studi della stessa città, alla Facoltà di Economia.

 

Prima di partire per Pisa, Sergio venne da me, per un breve periodo, per avere uno scambio culturale e dei consigli per gli studi che avrebbe intrapreso all’Università.

Nel salutarmi, il giorno precedente a quello della partenza per Pisa, Sergio mi consegnò in dono un libro sul Calcolo delle probabilità (di Guido Castelnuovo, Volume I; Zanichelli, Bologna), con la seguente dedica: “Al professore Giugliano con i miei ringraziamenti – Sergio Vessella - Alife 18-9-‘73”.

Dopo ci siamo visti raramente.

Un’altra volta, nel 1979, venne a farmi visita, a casa, e mi consegnò, in dono, una copia di un suo studio, dal titolo “Considerazioni sulla stabilità delle soluzioni di un problema inverso per l’equazione delle corde vibranti”.

Ricordo che mi congratulai molto con lui, perché aveva affrontato un argomento di Fisica Matematica di notevole difficoltà, come è quello sulle corde vibranti.

Sul dattiloscritto donatomi da Sergio, dall’alto, c’è la scritta: “Per il Prof. Giugliano – Sergio Vessella; poi l’intestazione ISTITUTO MATEMATICO “Ulisse Dini”; in basso, dopo il titolo: Università degli Studi di Firenze.

 

 

N. 2. - Curriculum vitae.

 

2. 1. – Studi e carriera.

Vessella ha frequentato, come ho già detto, il Liceo Scientifico di Piedimonte Matese e l’Università di Pisa, conseguendo la laurea in Matematica, il 14-12-1978, con 110/110 e la lode; relatore il Prof. S. Spagnolo.

Dal 15-6-1979 al 15-6-1982 è stato borsista del C.N.R, avendo come Direttore di ricerca il Prof. G. Talenti.

Dal 16-12-1982 al 7-3-1988 è stato Ricercatore C.N.R. presso lo I.A.G.A.

Ora è Professore associato, fin dal 7-3-1988.

 

2. 2. – Attività didattiche.

Dal 7-3-1988 al 1-11-1991 è stato titolare del corso di Analisi Matematica I nella Facoltà di Ingegneria dell'Università di Salerno.

Nell'a.a. 1990-91 ha tenuto, come supplente, il corso di Analisi Matematica II nel corso di laurea di Scienze Statistiche della Facoltà di Economia dell'Università di Firenze.

Trasferitosi, dal 1-11-1991, alla Facoltà di Economia dell'Università di Firenze, come titolare del corso di Elementi di Matematica, ha tenuto, come supplente, il corso di Matematica Generale A, per il corso di laurea di Economia della stessa Facoltà.

Dall'a.a. 1992-93 a tuttora, è responsabile del corso di Matematica Generale.

Dall'a.a. 1993-94 all'a.a. 1997-98 ha tenuto, per affidamento sostitutivo, il corso di Analisi Matematica II per il corso di laurea in Scienze Statistiche.

Nell'a.a. 1998-99 ha tenuto, per affidamento sostitutivo, il corso di Matematica Generale per il Diploma di Statistica.

Nell'a.a. 1996-97 ha tenuto un corso di Analisi Funzionale e Teoria della Misura per il dottorato di ricerca di Economia a Firenze.

 

2. 3. - Attività scientifiche.

         Nella sua attività di ricerca Vessella ha studiato vari aspetti e problematiche relative ai problemi inversi e non ben posti per equazioni differenziali alle derivate parziali e per equazioni integrali, occupandosi specialmente dei problemi di stabilità delle soluzioni, come sarà illustrato più diffusamente nel seguito.

 

Ricordiamo inoltre che:

     

a)    Vessella ha seguito e tenuto seminari in Italia e all'estero;

 

b)   ha partecipato attivamente a convegni di carattere generale, a convegni sulle equazioni   differenziali alle derivate parziali e a convegni sui problemi inversi per equazioni differenziali alle derivate parziali e integrali;

 

c)    ha trattato problemi specifici che hanno condotto alla stesura di alcuni lavori (vedi elenco delle pubblicazioni) che qui saranno brevemente descritti. 

 

2. 4. – Elenco delle pubblicazioni.

L’attività scientifica del Vessella è dimostrata dalle pubblicazioni, in ogni campo delle sue ricerche, delle quali qui riporto l’elenco completo.

 

1)        "Some inverse problems for the vibrating string equation". Le Matematiche, vol. XXXIV, fasc.1-2 (1979).

 

2)        "A note on an ill-posed problem for the heat equation". (con G. Talenti ) , J. Austr. Mat. Soc. ( Series A ) 32, 358-368, 1982.

 

3)        "An ill-posed problem for the Laplace equation". Boll. Un. Mat. Ital. Analisi Funzionale e applicazioni. Serie IV, vol. 1-2, C, n.1, 61-80, 1982.

 

4)        "Problemi non ben posti in fisica matematica e analisi". ( traduzione di: Nekorretnye zadachi matematicheskoi fisiki i analisa, autori: M. M. Lavrent`ev, V. G. Romanov, S. P. Sisatskij . A cura di G. Alessandrini, O. Arena, S. Campi, G. Chiti, M. Longinetti, G. Papi, A. Venturi, S. Vessella. Quaderno I. A. G. A. n.12. 1983.

 

5)        "Estimates and regularization for solutions of some ill-posed problems of elliptic and parabolic type". ( con H. A. Levine ). Rend. Circ. Mat. Palermo. Serie II, tomo XXXIV, 141-160, 1985.

 

6)        "Stabilization and regularization for solutions of an ill-posed problem for the wave equation". ( con H. A. Levine ). Math. Meth. in Appl. Sciences, 7, 202-209, 1985.

 

7)        "Stability results for Abel equations". J. Integr. Equations 9, 125-135, 1985.

 

8)        "Error estimates in an identification problem for a parabolic equation". ( con G. Alessandrini ). Boll. Un. Mat. Ital. Analisi Funzionale e Applicazioni. Serie IV, C-1, 183-203, 1985.

 

9)        "Stabilization of ill-posed  Cauchy problem for a parabolic equation". ( con P. Knabner ). Ann. Mat. Pura e Appl. ( IV ), vol. CIL, 393-409, 1987.

 

10)    " Stability estimates for ill-posed Cauchy problems". ( con P. Knabner ). Inverse and ill-posed problems, Academic Press. Inc. 1987.

 

11)    " The optimal stability estimates for some ill-posed Cauchy problems for a parabolic equation". ( con P. Knabner ). Math. Meth. in Appl. Sciences, vol. 10, 575-583, 1988.

 

12)    "Local behaviour of solutions to parabolic equations". ( con G. Alessandrini ). Comm. Part. Diff. Eq. 13, ( 9 ), 1041-1058. ( 1988 ).

 

13)    "Stability results for an inverse problem in potential theory". ( con E. Beretta ). Ann. Mat. Pura e Appl. ( IV ), vol. CLVI, 381-404, 1990.

 

14)    "A remark on an inverse problem in electrocardiology". ( con E. Beretta ). Appl. Anal. , vol. 39, 243-248, 1990.

 

15)    " On continuous dependence on non-characteristic Cauchy data for level lines of solutions of the heat equation". ( con P. Manselli ). Forum Math. , 513-521, 1991.

 

16)    "Some problem for a non linear parabolic equation connected with continuous casting of steel: stability estimates and regularization". ( con A. Binder e H. Engl ). Numer. Funct. Anal. and Optimiz. 643-671, 1990.

 

17)    "Abel integral equations: analysis and applications. ( con R. Gorenflo ). Monografia, Springer- Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1461, 1991.

 

18)    "Locations and strengths of point sources: stability estimates". Inv. Problems 8, 911-917, 1992.

 

19)    "A stability result for a magnetostatic inverse problem". ( con H. W. Engl ). Results in Mathematics vol. 26, 1994.

 

20)    "Un paradosso di Eulero". Archimede fasc. 1-2, 1992.

 

21)    "Two dimensional inverse problem in electrocardiology".( con V. G. Cherednichenko). J. Inv. Ill-Posed Problems, vol. 1, n. 3, pp. 207-215, 1993.

 

22)    "Stability estimates in time-backwards problem for the rod equation". ( con A. Vitolo ). Rend. Circ. Mat. Palermo. Serie II, XLIII, 39-50, 1994.

 

23)    "A domain identification problem for the heat equation- Holder stability estimate" J. Inv. Ill-Posed Problems, vol. 3, n.6, 495-503, 1995.

 

24)    " Determining linear cracks by boundary measurement: Lipschitz stability". ( con G. Alessandrini e E. Beretta). SIAM J. Math. Anal., vol. 27 n. 2, 361-375, 1996.

 

25)    "Stability in crack determination for electrostatic measurements at the boundary- a numerical investigation. ( con G. Alessandrini, E. Beretta, F. Santosa ). Inv. Problems 11 L17-L24, 1995.

 

26)    "Stability estimates in an inverse problem for 3D heat equation". SIAM J. Math. Anal. vol. 28, n. 6, 1354-1370, 1997.

 

27)    "Stable determination of boundaries from Cauchy data". ( con E. Beretta ). SIAM J. Math. Anal. , vol. 30, n. 1, 220-232, 1998.

 

28)    "A continuous dependence result in the analytic continuation problem". Pubblicato su Forum Math. 11 ( 1999 ), 695-703.

 

29)    "Quantitative continuation of solution of elliptic equations from a measurable set". Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 130A, 909-923,2000 .

 

30)    "Optimal stability for inverse elliptic boundary value problem with unknown boundaries". ( con G. Alessandrini, E. Beretta, E. Rosset ). Preprint Dip. Sc. Mat. Univ. Trieste, Quaderno n. 457, 1999. Accettato per la pubblicazione dagli Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa.

 

31)    "Inverse boundary value problems with unknown boundaries: Optimal stability" ( con G. Alessandrini, E. Beretta, E. Rosset ) C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Serie II b, p. 607-611, 2000.

 

32)    "Quantitative estimates of unique continuation for parabolic equations and inverse initial-boundary value problem with unknown boundaries" ( con B. Canuto, E. Rosset )   Preprint Dip. Sc. Mat. Univ. Trieste, Quaderno n. 472, 2000.

 

 

N. 3.     Breve riassunto delle pubblicazioni.

 

·        Lavori 1), 2), 3).

La parte iniziale del periodo 1979-82 è stata caratterizzata da un'attività di orientamento generale sui problemi inversi non ben posti, sotto la guida del Prof. G. Talenti.

Ciò ha condotto alla stesura dei lavori 1), 2), 3) (il lavoro 2 è in collaborazione con G. Talenti) dell'elenco delle pubblicazioni, sopra riportato, nei quali ha studiato la stabilità per problemi lineari non ben posti relativi alle equazioni delle corde vibranti, del calore e di Laplace.

Successivamente ha iniziato ad interessarsi alle equazioni integrali di Abel con la collaborazione del Prof. R. Gorenflo (FU Berlin).

 

·        Lavoro 4).

Ha partecipato ad un convegno internazionale sui problemi inversi (Montepellier 1982), ha tenuto dei seminari nell'istituto U. Dini di Firenze, ha preso parte al lavoro di traduzione e revisione del libro di Lavrentiev, Romanov, Sisatskij (punto 4 dell'elenco delle pubblicazioni).

 

·        Lavori 5), 6).

Continuando a lavorare sui problemi lineari non ben posti ha studiato in un contesto astratto, con H. A. Levine, (lavori n.5 e n.6 dell'elenco) questioni di stabilità in problemi ellittici, parabolici e iperbolici generalizzando, nel lavoro 5 dell'elenco delle pubblicazioni, i risultati ottenuti, con G. Talenti, nel lavoro di cui al punto 2 dell'elenco delle pubblicazioni.

 

·        Lavoro 7).

Nel 1983 ha portato a termine una prima fase dello studio delle equazioni di Abel trovando, per le sue soluzioni, stime di stabilità ottimali (punto 7 dell'elenco delle pubblicazioni) e ponendo le basi per la stesura della monografia sulle equazioni di Abel (punto 17 dell'elenco delle pubblicazioni) condotta con Gorenflo.

Nell'ambito della cooperazione con quest'ultimo è stato varie volte all'Università di Berlino, dove ha tenuto dei seminari sulle equazioni di Abel e sulle ricerche che, nel frattempo, conduceva.

Nel giugno del 1983 ha tenuto una conferenza ad Oberwolfach sui risultati di stabilità che aveva dimostrato per le equazioni di Abel; tali risultati sono stati anche presentati al congresso U. M. I. del 1983 ( Perugia ).

Il piano della monografia prevedeva un'attenzione particolare agli aspetti applicativi delle equazioni di Abel e alle relazioni degli operatori di Abel con altre trasformate integrali.

 

·        Lavori 8), 12).

Nel 1984 ha iniziato a lavorare con G. Alessandrini su un problema di identificazione di un coefficiente di un'equazione uniformemente parabolica del secondo ordine giungendo, così, alla stesura del lavoro 8 dell'elenco delle pubblicazioni e, successivamente, al lavoro di cui al punto 12 dello stesso elenco.

In quest'ultimo lavoro i due studiosi dimostrano una generalizzazione, al caso di equazioni uniformemente paraboliche del secondo ordine con coefficienti della parte principale di tipo halderiano, di un teorema riguardante il comportamento locale di soluzioni di equazioni ellittiche lineari provato da Bers.

Nel 1985 ha iniziato una ricerca sul problema di Cauchy non-caratteristico per equazioni uniformemente paraboliche del secondo ordine in dimensione spaziale uno.

L'interesse principale di questa ricerca consisteva nello studio dell'unicità e della stabilità per soluzioni del suddetto problema di Cauchy, nelle ipotesi in cui il coefficiente del termine di ordine principale non è differenziabile con continuità.

Se, al contrario, tale coefficiente è differenziabile con continuità, Payne aveva provato, in un articolo del 1985, l'unicità delle soluzioni e la stabilità halderiana delle stesse.

 

·        Lavori 9),10), 11).

La ricerca sul problema di Cauchy è stata successivamente portata avanti con P. Knabner ( Università di Augsburg ) e si è articolata in tre distinti lavori (punti 9, 10, 11, dell'elenco delle pubblicazioni).

In tutti e tre i lavori i coefficienti delle equazioni non dipendono dal tempo.

Nel lavoro 9 si prova che, se i coefficienti sono misurabili e limitati allora la soluzione del problema di Cauchy non-caratteristico è unica e, per questa soluzione, vale una dipendenza continua di tipo halderiano dai dati qualora la soluzione soddisfi ad una limitazione a priori in L2.

Nel lavoro 11 si considera il caso in cui il coefficiente del termine del secondo ordine è differenziabile due volte con continuità e si dimostra una stima di stabilità ottimale.

Nel lavoro 10 si considera il caso in cui il coefficiente della parte principale è una funzione costante a tratti e, nel determinare le stime di stabilità, si trova una formula risolutiva con un argomento ricorsivo.

Nell'ambito della cooperazione con P. Knabner, Vessella ha tenuto delle conferenze all'Università di Augsburg sui risultati della loro ricerca comune e su altri suoi risultati.

I risultati della loro ricerca sono stati presentati ad un congresso sui problemi inversi, organizzato dall'Università di Linz (Austria) e al congresso U. M. I. del 1987 ( Torino ).

I suddetti lavori sul problema di Cauchy hanno concluso una prima fase della sua attività di ricerca.

Questa si è successivamente orientata verso lo studio di problemi che consistono nella determinazione di porzioni di bordo di domini potendo disporre di dati al bordo di soluzioni di equazioni di tipo ellittico o parabolico.

Tali problemi sono non-lineari indipendentemente dalla linearità delle equazioni e degli operatori di bordo.

 

·        Lavori 13),14).

Vessella ha iniziato questa seconda fase della sua attività di ricerca con i lavori 13 e 14 dell'elenco delle pubblicazioni, in cooperazione con E. Beretta.

Nei lavori 13 e 14 considerano un modello matematico in elettrocardiologia introdotto e studiato da E. Magenes e P. Colli-Franzone ( 1982-'85 ).

I problemi inversi che hanno studiato sono formulabili come problemi inversi in teoria del potenziale.

Nel lavoro 13 si studiano la stabilità per una formulazione bidimensionale del problema, in esso l'incognita è una curva semplice, aperta.

Nel lavoro 13 i due studiosi provano risultati di stabilità logaritmica, essenzialmente nelle stesse ipotesi in cui Magenes, nel 1985, ha provato l'unicità.

Per provare questi risultati adoperano tecniche di teoria classica del potenziale e di prolungamento analitico.

Nel lavoro 14 provano, invece, un risultato di unicità valido anche in tre dimensioni nel caso in cui l'incognita del problema è una superficie chiusa e stellata.

Questi risultati sono stati esposti in diverse conferenze tenute da Vessella alla FU-Berlino e al Centro di Ricerche di Novosibirsk, in cui è stato invitato dal Prof. Lavrentiev nell'autunno del 1988.

Durante questa visita ha avuto numerosi incontri e colloqui, tra gli altri, con il Prof. Bugheim, con il Prof. Kabanikin e con il Prof. Cherednichenko.

Con quest'ultimo ha iniziato una collaborazione per approfondire la questione dell'unicità del problema inverso in elettrocardiologia nel caso piano.

Questa collaborazione ha condotto a risultati di unicità ed esistenza per una diversa formulazione del problema di cui al punto 13, pubblicato nel 1993 (lavoro n. 21 dell'elenco).

 

·        Lavori 15),16).  

I lavori successivi (n. 15, 16 dell'elenco) riguardano un problema di identificazione della frontiera, variabile nel tempo, per equazioni paraboliche lineari e non-lineari in una dimensione spaziale.

Il caso lineare è stato studiato con P. Manselli, mentre il caso non-lineare è stato studiato con H. Engl e A. Binder (entrambi dell'Università di Linz).

Questi problemi (in particolare nel caso non-lineare) sorgono nello studio della solidificazione dell'acciaio.

Nell'ambito della cooperazione con H. Engl e A. Binder, Vessella è stato invitato a tenere una conferenza all'Università di Linz.

Nel periodo 1989-90 si è conclusa anche la stesura della monografia sulle equazioni di Abel.

Questa monografia è stata pubblicata nel 1991 nelle Lecture-Notes in Mathematics della Springer-Verlag.

Malgrado la forma rudimentale dell'esposizione e della veste tipografica, la monografia ha ricevuto numerosi e positivi apprezzamenti da parte di coloro i quali erano interessati alle applicazioni o agli aspetti matematici di esse, come è, altresì, testimoniato dalle numerose citazioni in altri libri e lavori sui problemi inversi.

 

·        Lavoro 18).

Nel lavoro n.18 ha esteso al caso tridimensionale alcuni risultati di stabilità trovati da K. Miller nel problema della determinazione di poli semplici di una funzione meromorfa nota su una curva.

La stabilità nel caso tridimensionale era stata studiata da J. R. Cannon e E. R. Ewing nel 1975, ma a differenza di questi che avevano provato una dipendenza continua dai dati di tipo logaritmico, nel lavoro n.18 Vessella ha approfondito ulteriormente l'indagine giungendo a dimostrare una dipendenza di tipo lipschitziano.

Questo risultato è stato trovato sfruttando opportunamente il fatto che il problema inverso considerato è di tipo finito-dimensionale.

Sui risultati di questo lavoro Vessella ha tenuto una conferenza all'Università di Linz.

 

·        Lavoro 19).

La tecnica utilizzata nel suddetto lavoro n. 18 è stata utilmente sfruttata anche nel lavoro n. 19 in cooperazione con H. Engl.

In questo lavoro viene studiato un problema di identificazione per equazioni ellittiche.

I risultati dei due lavori precedenti sono stati presentati in una sua conferenza tenuta a Postdam nel 1993, in occasione di un convegno sui problemi inversi.

 

·        Lavori 24), 25).

Nel periodo di permanenza all'Università di Salerno, oltre a portare avanti i lavori di cui al punto 14, 15, 16, 17, 21 dell'elenco delle pubblicazioni, Vessella ha collaborato con A. Vitolo e, riprendendo in parte i risultati di teoria dei numeri, utilizzati nei lavoro n. 1 dell'elenco, i due hanno trovato dei risultati di stabilità per l'equazione delle sbarre.

La ricerca sui problemi di identificazione di domini è continuata con il lavoro n. 24 (con G. Alessandrini e E. Beretta) e n. 25 (con G. Alessandrini, E. Beretta e F. Santosa).

Nel lavoro n. 24 questi studiosi hanno provato una stabilità di tipo lipschitziano nel problema inverso bidimensionale relativo a crack isolanti nell'ipotesi in cui tali crack siano dei segmenti.

 Sono giunti a questo risultato utilizzando teoremi di regolarità per equazioni ellittiche e sfruttando efficacemente il carattere finito-dimensionale del problema.

Nel lavoro n. 25 hanno studiato degli aspetti numerici del lavoro precedente.

 

·        Lavoro 23).

Nel lavoro n. 23 Vessella determina una stabilità di tipo halderiano per il problema trattato nel lavoro n. 15 assumendo, però, forti limitazioni a priori sulla frontiera incognita (appartenenza a classi di Gevrey di ordine 2); tali ipotesi sono necessarie per l'estensione della soluzione del problema diretto e, a tale estensione, è dovuto il carattere halderiano della stima di stabilità.

Sui risultati di questo lavoro Vessella ha tenuto una conferenza nell'ambito di un convegno sui problemi inversi organizzato dall'Universtà di Linz nel 1994 e in un convegno tenuto a Osaka dello stesso anno (anch'esso sui problemi inversi).

 

·        Lavoro 26).

Nel lavoro n. 26 il punto tecnicamente rilevante riguarda le stime globali per soluzioni del problema di Cauchy non caratteristico per l'equazione tridimensionale del calore.

Infatti, la funzione, U, per la quale bisogna trovare le suddette stime è differenza di due soluzioni dell'equazione del calore nei due differenti domini di cui si vuol stimare la distanza di Hausdorff, quindi la stima globale deve essere trovata per la funzione U in una componente connessa dell'intersezione dei due domini.

Quello che è risultato particolarmente delicato è stata la valutazione di U in vicinanza delle porzioni di bordo incognite in termini dell'errore sui dati e delle informazioni a priori sui domini.

Trovata una prima stima su U e utilizzando proprietà delle soluzioni corrispondenti ai domini di cui si vuol stimare la distanza di Hausdorff, si giunge ad una prima rozza stima di stabità per tale distanza.

La conseguenza che più interessa di questa prima stima è che, se l'errore sui dati è sufficientemente piccolo allora i due domini risultano sufficientemente vicini e ciò consente un maggior controllo della geometria della loro intersezione e, quindi, una stima migliore per U e per la distanza di Hausdorff.

La stima finale è di tipo logaritmico.

I risultati di questo lavoro sono stati presentati ad Oberlwolfach nel gennaio del 1996.

 

·        Lavori 27), 30).

Nel lavoro n. 27, con E. Beretta, connesso ad un problema di determinazione di superfici corrose mediante misurazioni elettrostatiche, si avvale in parte delle tecniche messe a punto nel lavoro n.26.

In questo lavoro il dominio incognito è un aperto del piano, semplicemente connesso, di cui solo una porzione della frontiera è nota.

L'equazione che, si suppone, governi il fenomeno fisico è l'equazione di Laplace.

Il problema inverso si presenta, pertanto, come problema di identificazione di un dominio incognito avendo assegnato un opportuno dato di Neumann della soluzione dell'equazione di Laplace nel dominio e misurato il corrispondente valore della soluzione su una porzione di bordo.

Oltre alle difficoltà dovute alla scarsa controllabilità della geometria del problema (difficoltà, peraltro, simili a quelle incontrate nel lavoro n. 26), i due studiosi hanno affrontato la questione di una stima dal basso per il gradiente di una soluzione, u, di un problema di Neumann per l'equazione di Laplace.

Tale stima dal basso è stata, infine, ottenuta sfruttando per l'armonica coniugata di u un risultato di Alessandrini e Magnanini del '94, sui punti critici delle soluzioni di equazioni ellittiche bidimensionali.

La stima che hanno ottenuto è ottimale come mostrato da Alessandrini in un suo precedente articolo del '97.

Sui risultati inerenti a questo lavoro, Vessella ha tenuto una conferenza al Convegno sui problemi inversi tenuto a Gargnano nel 1998.

Lo studio della stabilità per la versione tridimensionale del problema di cui al n. 27 è stata condotta con l'ausilio di altre tecniche, come ora espongo e ha condotto al lavoro n.30 dell'elenco.

Questo lavoro è stato affrontato da Vessella con G. Alessandrini, E. Beretta e E. Rosset.

L'equazione che, si suppone, governi il fenomeno è ellittica (del secondo ordine), con coefficienti della parte principale di tipo lipschitziano.

Le stime globali per il problema di Cauchy, che gli studiosi hanno dovuto ricavare, hanno richiesto una trattazione sostanzialmente diversa di quella del lavoro n. 27 (tale trattazione era basata essenzialmente su tecniche di prolungamento analitico).

Infatti, per trovare tali stime in vicinanza della parte di frontiera nota e sulla quale sono altresì disponibili i dati di Cauchy, si è adoperato un risultato di Trytten, mentre per trovare tale stima in vicinanza delle porzioni incognite di frontiera si è adoperato, con opportuni accorgimenti, il teorema delle tre sfere (conseguenza dei risultati di "strong unique continuation" di Garofalo-Lin (1986) e di Kukavica (1998)) per soluzioni di equazioni ellittiche con coefficienti lipschitziani nella parte principale.

Le stime di stabilità per la distanza di Hausdorff fra i domini è stata resa possibile da una rielaborazione di recenti risultati di "unique continuation at the boundary" dovuti a Adolfsson-Escauriaza (1997).

La stima di stabilità ottenuta è ottimale.

Nel lavoro n. 28 Vessella ha studiato gli aspetti quantitativi del prolungamento di funzioni analitiche reali di n variabili reali da insiemi di misura positiva ed ha trovato per esse stime di stabilità di tipo halderiano dipendenti solo dal dominio in cui è definita la funzione, dalla misura dell'insieme in cui è noto l'errore sulla stessa e dalle limitazioni a priori sulla funzione.

Questo risultato estende risultati analoghi riportati nella monografia di Lavrentiev-Romanov-Sisatskji fornendo, nel contempo, una dimostrazione notevolmente semplice.

 

·        Lavoro 29).

Successivamente, nel lavoro n. 29, Vessella ha affrontato un problema analogo al precedente, relativo a soluzioni di equazioni ellittiche con coefficienti nella parte principale di tipo lipschitziano, provando delle stime di stabilità dipendenti dalla misura dell'insieme sul quale è noto l'errore, dal dominio in cui è considerata l'equazione e dalle limitazioni a priori sulla soluzione.

Queste stime sono state rese possibili dall'utilizzazione della connessione, posta in evidenza da Garofalo-Lin nel 1986, tra "doubling inequalities" per soluzioni di equazioni ellittiche e la teoria dei pesi di Muckenhaupt.

I risultati dei due lavori precedenti sono stati presentati in un convegno sui problemi diretti e inversi tenuto a Gargnano nel 1999.

Nel febbraio del 1998 Vessella si è recato a Rutgers, invitato dal Prof. Vogelius .        

 

·        Lavoro 32).

Nel lavoro n.32 (in collaborazione con B. Canuto e E. Rosset), Vessella ha condotto lo studio della stabilità per un problema inverso relativo a equazioni paraboliche del secondo ordine con coefficienti lipschitziani e non dipendenti dal tempo.

Tale problema sorge in "thermal imaging" e consiste nel determinare superfici corrose inaccessibili o cavità interne ad un corpo conduttore.

Gli aspetti che sembrano più interessanti di questo lavoro sono quelli connessi alle stime di "unique continuation" per soluzioni di equazioni paraboliche.

Queste riguardano, in particolare, disuguaglianze tipo tre sfere all'interno e al bordo su iperpiani caratteristici.

 

 

N. 4. – Sintesi degli studi di Vessella.

 

        In conclusione, posso affermare che la produzione scientifica di Vessella è notevole e di gran pregio.

Egli si è occupato principalmente di problemi inversi e non ben posti.

 

In particolare ha studiato:

·       stabilità per un problema inverso di magnetostatica e dell'equazione del calore,

·       un problema inverso dell'elettrocardiologia,

·       identificazione di rotture in conduttori elettrici e di una porzione di frontiera di un dominio planare usando dati di Cauchy,

·       problemi di identificazione per l'equazione del calore.

 

·       È inoltre coautore di una monografia sull'equazione integrale di Abel.

 

I risultati ottenuti sono stati pubblicati, in lingua inglese, su riviste a diffusione internazionale.   [Continua]

 

Michele Giugliano      Collana Liberi Studi         Biografie Cittadini Medio Volturno        Home page        Pagina seguente â

 

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