Sergio Vessella

á Pagina precedente Home page Pagina seguente â

Cap. II. – Premesse.

[Sergio Vessella]

N. 1. - Continuità delle funzioni.

Il concetto di continuità delle funzioni interviene molto frequentemente, anche nelle operazioni e nei calcoli più elementari.

Infatti, gran parte delle operazioni che quotidianamente eseguiamo sono basate su dati ottenuti mediante misurazioni di lunghezze, aree, volumi, temperature e altro, che non possiamo mai supporre esatte, ma sempre affette da errori.

Ciò che consente di trovare risultati con un grado tollerabile di approssimazione, utilizzando misure approssimate dei dati, sono le proprietà di continuità delle funzioni che adoperiamo nei nostri calcoli.

1.1. – Continuità della funzione A(l) = l ².

Supponiamo, ad esempio, di essere interessati alla misura dell’area di un campo di terreno di forma quadrata.

Sappiamo che, se il lato del quadrato ha lunghezza l allora la sua area è l ².

Quindi, se l = 20,12 m allora, indicando con A l’area del campo, si avrà A = (20,12)² m².

Ora, se ci accontentiamo di una approssimazione di A, possiamo porre, ad esempio, l₁ = 20 m, ottenendo A₁= 400 m².

Dalla teoria, sappiamo anche che per ottenere approssimazioni più accurate di l ² dobbiamo far ricorso ad approssimazioni più accurate di l.

· Cerchiamo di illustrare con maggiori dettagli il problema ora posto.

Dunque, consideriamo la funzione A(l) = l ².

Siano assegnati l₀ > 0 ed un altro valore l₁ di l.

Supponiamo, inoltre, che l₁ differisca da l₀, in valore assoluto, di una quantità minore di un certo numero positivo d, cioè che sia

(1) .

Allora

(2) .

D’altra parte dalla (1) abbiamo

Da quest’ultima e dalla (2) ricaviamo

e, utilizzando nuovamente la (1), otteniamo

(3)

In conclusione, abbiamo dimostrato che,

fissato ,

e posto , si ha:

In altre parole:

· la funzione A = A(l) è continua nel punto l = l₀.

· OSSERVAZIONI.

Come conseguenza della continuità della funzione area A(l), e delle altre sopra accennate, potremmo utilizzare, per il calcolo approssimato, tutti gli strumenti posti a disposizione dell’Analisi matematica, come, ad esempio il differenziale, che richiedono sempre condizioni di continuità per le funzioni considerate.

Ma, nei casi più semplici, come per il calcolo approssimato di un’area, esistono procedimenti di più facile applicazione, che non richiedono strumenti matematici tanto complessi.

Ad esempio, se si deve calcolare l’area A di un tavolo a forma rettangolare con una certa approssimazione, un teorema di facile uso, consente di stabilire quali devono essere le approssimazioni delle misure, diciamo x ed y, dei lati.

Il teorema a cui mi riferisco è il seguente:

· Se si richiede che il prodotto xy di due numeri reali, x ed y, risulti approssimato per difetto a meno di 10^-n è necessario assumere, per i fattori x ed y, valori approssimati a meno di 10^-(n+k), essendo k il più piccolo numero intero verificante la disuguaglianza:

int(x) + int(y) + 2 < 10^k.

· Il teorema prevede anche, inversamente, quale sarà l’approssimazione del prodotto xy, nell’ipotesi che siano date le approssimazioni dei fattori x ed y.

Se il calcolo approssimato riguarda funzioni più complesse, allora conviene ricorrere all’uso dei differenziali.

· Ad esempio, volendo calcolare, con approssimazione, la misura dell’ipotenusa z di un triangolo rettangolo, sapendo che le misure dei cateti sono x = 3,54 e y = 2,13, siamo condotti a determinare il valore della seguente espressione:

· Come si può procedere, senza l’uso della calcolatrice, e senza eseguire il calcolo direttamente?

Conviene considerare la funzione di due variabili

differenziabile nel punto del suo dominio, ed applicare la formula:

(***)

In questa formula:

; ;

quindi

;

Inoltre:

; ;

; .

Applicando, infine, la formula (***), si ha:

@= .

· Perché abbiamo scritto una sola cifra decimale nel risultato?

N. 2. - Problemi di approssimazione.

Rispondiamo ora alle seguenti domande:

i) Data la funzione A = A(l), supponiamo che un certo valore l₀ di l sia non maggiore di un numero reale positivo d, ad esempio , come deve essere scelto d affinché non superi ?

ii) Se non sono noti i valori di ed , ma si sa che , essendo d un numero reale positivo dato, è possibile determinare valori di d per cui anche sia arbitrariamente piccola?

· Per rispondere alla prima domanda, dobbiamo provare che esistono valori positivi di d per cui

(*)

Allo scopo, osserviamo che la (3), con l’ulteriore ipotesi che , fornisce le disuguaglianze:

Infine, i valori positivi di d per cui

verificano sicuramente la disuguaglianza (*), e quindi offrono la soluzione al primo quesito.

· Per quanto riguarda la seconda domanda, la risposta è negativa.

Vediamo perché.

Dalla disuguaglianza triangolare e dalla (1), abbiamo

Da quest’ultima e dalla (2) otteniamo,

(4)

Può quindi accadere che superi il numero arbitrariamente scelto

anche se .

· Ora, supponiamo che sia

e ,

allora

quindi la è soddisfatta, mentre dalla (4) si ha

(5) ,

da cui se

anche

;

invece, dalla (5)

Quindi, pur essendo non è detto che la differenza possa assumere valori arbitrariamente piccoli.

N. 3. – Spazi metrici.

· Per precisare ulteriormente i concetti illustrati prima e per preparare il terreno per la discussione successiva, richiamiamo la definizione di continuità di applicazioni tra spazi metrici.

Allo scopo cominciamo a ricordare alcune definizioni.

3. 1. - Distanza su un insieme.

· Sia X un insieme.

Si chiama distanza su X un’applicazione

godente delle seguenti proprietà:

· Esempi di distanze su un insieme.

a) Se R

allora

è una distanza su R;

b) Se R²

allora

sono distanze su R².

g) Se X è un insieme qualsiasi,

allora

è una distanza su X.

Lascio al Lettore la facile verifica.

3. 2. - Spazio metrico.

· Un insieme X con una distanza d, definita su di esso, si chiama spazio metrico.

Sia chiaro, dunque, che uno spazio metrico è una coppia (X,d) costituita da un insieme X e una distanza d definita in esso.

In pratica, dato l’insieme X, quando dal contesto è chiaro quale sia la distanza definita su di esso, si dice semplicemente che X è uno spazio metrico.

· Esempi di spazi metrici, utili per il seguito.

1) Siano a e b due numeri reali con a < b e sia